Tìm khai triển maclaurin của f(x) = (x - 1)e^x đến số hạng chứa x^6 của phần dư peano?

Để tìm khai triển Maclaurin của hàm số \(f(x) = (x-1)e^x\) đến số hạng chứa \(x^6\) của phần dư Peano, ta cần tìm các đạo hàm của hàm số này tại \(x = 0\).

Đầu tiên, ta tính các đạo hàm của \(f(x)\):
\[
\begin{align*}
f'(x) &= e^x + (x-1)e^x = xe^x \\
f''(x) &= e^x + xe^x = (x+1)e^x \\
f'''(x) &= (x+1)e^x + e^x = (x+2)e^x \\
f''''(x) &= (x+2)e^x + (x+1)e^x = (x+3)e^x \\
f'''''(x) &= (x+3)e^x + (x+2)e^x = (x+4)e^x \\
f''''''(x) &= (x+4)e^x + (x+3)e^x = (x+5)e^x \\
f'''''''(x) &= (x+5)e^x + (x+4)e^x = (x+6)e^x \\
\end{align*}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của các đạo hàm này tại \(x = 0\):
\[
\begin{align*}
f(0) &= (0-1)e^0 = -1 \\
f'(0) &= 0e^0 = 0 \\
f''(0) &= 1e^0 = 1 \\
f'''(0) &= 2e^0 = 2 \\
f''''(0) &= 3e^0 = 3 \\
f'''''(0) &= 4e^0 = 4 \\
f''''''(0) &= 5e^0 = 5 \\
f'''''''(0) &= 6e^0 = 6 \\
\end{align*}
\]

Vậy, khai triển Maclaurin của \(f(x)\) đến số hạng chứa \(x^6\) của phần dư Peano là:
\[
\begin{align*}
f(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f'''''(0)}{5!}x^5 + \frac{f''''''(0)}{6!}x^6 + R(x) \\
&= -1 + 0x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{3}{4!}x^4 + \frac{4}{5!}x^5 + \frac{5}{6!}x^6 + R(x) \\
&= -1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{20}x^4 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{144}x^6 + R(x) \\
\end{align*}
\]

Trong đó, \(R(x)\) là phần dư Peano.