Chứng minh bốn điểm A, H, K, C cùng thuộc một đường tròn

a) Ta có:
- Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên góc BAC = góc BOC (góc ở tâm cùng cung).
- Tam giác ABC nhọn nên góc BAC < 90 độ.
- Đường cao AH của tam giác ABC là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC, nên góc BAH = góc CAH = 90 độ.
- Chân đường vuông góc ké từ C tới AD là K, nên góc KAC = góc KDC = 90 độ.
- Vậy ta có góc BAH = góc KAC = 90 độ.
- Do đó, tứ giác AHKC là tứ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính AD.
- Vậy bốn điểm A, H, K, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- M là trung điểm của BC nên BM = MC.
- Gọi I là trung điểm AC, ta có AI = IC.
- Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên góc BAC = góc BOC.
- Gọi E là giao điểm của AD và BC, ta có góc BAE = góc BDE (cùng chắn cung BE trên đường tròn (O)).
- Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác DCE (theo góc).
- Tương tự, tam giác AEC đồng dạng với tam giác DBE.
- Vậy ta có tam giác EOM đồng dạng với tam giác ECK (theo góc).
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: MK/OC = EM/EO.

c) Gọi N là trung điểm của HK.
- Ta có AI = IC và AH = HC (đường cao của tam giác ABC).
- Vậy ta có AI = IC = AH = HC.
- Do đó, ta có tứ giác AICH là hình vuông.
- Vậy trung điểm của HK là N.
- Ta có I là trung điểm AC và M là trung điểm BC, nên IM song song với NM.
- Vậy IM đi qua trung điểm của HK.