Để chứng minh Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, ta cần chứng minh QH.NM=QM.NH.

Ta có:
- OM = 2R (điều kiện đề bài)
- MP và MN là hai tiếp tuyến với (O) (định nghĩa tiếp tuyến)
- MO cắt NP tại H (định nghĩa H)

Ta cần chứng minh tam giác MNP có đường tròn nội tiếp tại Q, tức là MQ = NQ.

Ta có:
- Tam giác MOP và tam giác NOQ là hai tam giác đồng dạng (cùng có góc ở O và góc ở P hoặc Q)
- Vì OM = 2R, nên MQ = 2R (đồng dạng tam giác)
- Vì tam giác MOP và tam giác NOQ đồng dạng, nên MP/MN = OP/OQ (đồng dạng tam giác)
- Vì MP và MN là hai tiếp tuyến với (O), nên MP = MN (tiếp tuyến cùng cắt đường tròn)
- Vậy, ta có MP/MN = 1 (MP = MN)
- Từ MP/MN = OP/OQ, suy ra OP = OQ (vì MP/MN = 1)

Vậy, ta có MQ = NQ = 2R.

Tiếp theo, ta chứng minh QH.NM=QM.NH.

Ta có:
- Tam giác MOP và tam giác NOQ đồng dạng (cùng có góc ở O và góc ở P hoặc Q)
- Vì tam giác MOP và tam giác NOQ đồng dạng, nên OH/OM = OQ/OP (đồng dạng tam giác)
- Vì OH/OM = OQ/OP, suy ra OH = OQ (vì OM = 2R)
- Từ MQ = NQ = 2R, suy ra QM = QN = R (vì MQ + NQ = MN = 2R)
- Vậy, ta có QH.NM=QM.NH (OH = OQ, QM = QN)

Vậy, Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP và QH.NM=QM.NH.