Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC ở D trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tia phân giác góc.

a) Ta có BE = BA (theo đề bài). Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAE = góc EAC. Vì tia phân giác góc B cắt AC tại D, nên góc BAD = góc DAC. Từ đó, ta có tam giác BDA = tam giác BDE (cùng có 1 góc bằng và 2 góc nhỏ bằng nhau).

b) Ta cần chứng minh BD đi qua trung điểm của AE. Gọi M là trung điểm của AE. Ta cần chứng minh BD đi qua M.

Vì BE = BA, nên tam giác BAE là tam giác cân. Do đó, AM là đường trung tuyến của tam giác BAE. Vậy, M là trung điểm của BE.

Ta có BM = ME (do M là trung điểm của BE) và góc BMD = góc EMA (cùng là góc nhọn). Từ đó, ta có tam giác BMD = tam giác EMA (cùng có 1 cạnh bằng và 2 góc nhỏ bằng nhau).

Do đó, BD đi qua trung điểm của AE.

c) Kẻ CK vuông góc với BD tại K. Gọi F là giao điểm của CK và BA. Ta cần chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.

Vì CK vuông góc với BD, nên góc BCK = 90 độ. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BCK = góc BAC. Từ đó, ta có tam giác BCK = tam giác BAC (cùng có 2 góc vuông và 1 góc bằng nhau).

Vì tam giác BAE là tam giác cân (BE = BA), nên góc BAE = góc ABE. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Do đó, góc BAE = góc ABE = góc BAC. Từ đó, ta có tam giác BAE = tam giác BAC (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 góc nhọn).

Vì tam giác BCK = tam giác BAC và tam giác BAE = tam giác BAC, nên tam giác BCK = tam giác BAE (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 góc nhọn).

Do đó, ta có tam giác BCK = tam giác BAE = tam giác BAC (cùng có 2 góc bằng nhau và 1 góc nhọn).

Vậy, ba điểm E, D, F thẳng hàng.