Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Vì M và N lần lượt là các điểm trên đường thẳng song song với AC và AB, nên theo tính chất của đường cao, ta có MH vuông góc với AC và NH vuông góc với AB.

Do đó, tứ giác AMHN có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau, nên là hình chữ nhật.

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và HD. Ta cần chứng minh tứ giác MHDN là hình bình hành.

Ta có MN // AC và MN cắt AC tại M, nên theo định lí Thales, ta có:

$\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$

$\Rightarrow \frac{AM}{AN} = \frac{AC}{AB}$

Vì MN // AB và MN cắt AB tại N, nên theo định lí Thales, ta có:

$\frac{AN}{AB} = \frac{AH}{AD}$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

$\frac{AM}{AN} = \frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AD}$

Do đó, theo định lí cắt tỉa, ta có MD // AH và MD = AH.

Vậy tứ giác MHDN là hình bình hành.

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AE và HD. Ta cần chứng minh ME vuông góc với NE.

Ta có AE vuông góc với HD (do AE vuông góc với AB và HD vuông góc với AB), nên theo tính chất của đường cao, ta có ME vuông góc với HD.

Vì AE vuông góc với HD và AE cắt HD tại E, nên theo định lí Thales, ta có:

$\frac{ME}{NE} = \frac{AE}{DE}$

Vì AE vuông góc với HD và AE cắt HD tại E, nên theo định lí cắt tỉa, ta có:

$\frac{AE}{DE} = \frac{AH}{DH}$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

$\frac{ME}{NE} = \frac{AE}{DE} = \frac{AH}{DH}$

Do đó, theo định lí cắt tỉa, ta có ME // DH và ME = DH.

Vậy ME vuông góc với NE.