a) Chứng minh D là trung điểm I: Ta có BF cắt CD tại I, suy ra theo định lí Menelaus, ta có: $\frac{CI}{ID} \cdot \frac{DB}{BA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$ Vì $DB = BA$ (hình vuông ABCD) và $AF = FC$ (E là trung điểm AB), nên ta có: $\frac{CI}{ID} = 1$ Do đó, CI = ID, suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng CI. b) Chứng minh ABD là hình bình hành: Ta cần chứng minh AB = AD và AB // AD. Vì E là trung điểm của AB, nên ta có AE = EB. Vì D là trung điểm của AC, nên ta có AD = DC. Từ hai điều trên, ta có: AB = AE + EB = AD + DC = AB + BC Suy ra AB = AD. Vì BF // CD (do BF cắt CD tại I), và AB // CD (hình vuông ABCD), nên ta có AB // AD. Do đó, ABD là hình bình hành. c) Gọi H là trung điểm AI. CH cắt BD tại J. Ta cần chứng minh H là trung điểm của đoạn thẳng CJ. Vì H là trung điểm AI, nên ta có AH = HI. Vì D là trung điểm của AC, nên ta có AD = DC. Từ hai điều trên, ta có: AH = AD + DH = DC + DH = CJ Suy ra H là trung điểm của đoạn thẳng CJ.