a) Ta có DE = DF (vì D là trung điểm của CB) và IF = IE (vì I là đường cao của tam giác ABC). Vì E là trung điểm của IJ, nên IE = EJ. Do đó, IF = EJ. Từ đó, ta có DE = DF = EJ = IF. Vậy tứ giác DEFI là hình thang cân.

b) Để tứ giác BDEF là hình thoi, ta cần có các điều kiện sau:
- BD = DE (vì D là trung điểm của AB)
- BE = EF (vì E là trung điểm của AC)
- DF = FB (vì F là trung điểm của CB)
- Góc B = Góc D (vì tứ giác BDEF là hình thoi)

Để tứ giác BDEF là hình vuông, ta cần có các điều kiện sau:
- BD = DE = EF = FB (vì BDEF là hình vuông)
- Góc B = Góc D = Góc E = Góc F = 90 độ (vì BDEF là hình vuông)

c) Ta có DF vuông góc IE, nên góc DFI = 90 độ. Vì DE = DF (vì D là trung điểm của CB), nên góc DEF = góc DFE. Từ đó, ta có góc DFE = góc DFI = 90 độ. Do đó, tam giác DEF là tam giác vuông tại F. Vì IF = IE (vì I là đường cao của tam giác ABC), nên góc EFI = góc EIF. Từ đó, ta có góc EFI = góc EIF = 45 độ. Vậy tam giác EFI là tam giác vuông cân. Theo định lý Pythagoras, ta có DE^2 = DF^2 + EF^2. Vì DEF là tam giác vuông tại F, nên DE^2 = DF^2 + EF^2. Từ đó, ta có DE = sqrt(DF^2 + EF^2). Vì IF = IE, nên DE = sqrt(DF^2 + IF^2). Do đó, DE + IF = sqrt(DF^2 + IF^2) + IF = DF + IF = DI = AI. Vậy DE + IF = AI.

d) Ta có H là trung điểm BI, nên BH = HI. Tương tự, ta có G là trung điểm IC, nên CG = GI. Vì AI là đường cao của tam giác ABC, nên AH = CH. Từ đó, ta có BH = HI = CH = HG. Vậy HE = DE - DH = DE - BH = DE - HI = DE - HG = DG. Vậy HE = DG.