Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lần lượt tại D và E

a) Ta có:
- Góc BMD là góc giữa đường thẳng BM và đường thẳng MD.
- Góc ACB là góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng CB.
- Góc BC là góc giữa đường thẳng BC và đường thẳng AC.
- Góc BMDx2 là góc giữa đường thẳng BM và đường thẳng MD nhân đôi.

Ta cần chứng minh góc BMDx2 = ACB - BC.

Gọi góc BMD là α, góc ACB là β, góc BC là γ.

Ta có:
- Góc BMDx2 = 2α (góc nhân đôi)
- Góc ACB - BC = β - γ

Ta cần chứng minh 2α = β - γ.

Ta có:
- Góc BMD = 180° - góc MBD - góc MDB (tổng góc trong tam giác)
- Góc BMD = 180° - (180° - α) - (180° - 2α) (góc MBD = 180° - α, góc MDB = 180° - 2α)
- Góc BMD = α

Vậy, góc BMD = α.

Ta cũng có:
- Góc ACB = 180° - góc BAC - góc ABC (tổng góc trong tam giác)
- Góc ACB = 180° - (180° - 2α) - (180° - β) (góc BAC = 180° - 2α, góc ABC = 180° - β)
- Góc ACB = 2α - β

Vậy, góc ACB - BC = 2α - β - γ.

Ta cần chứng minh 2α = β - γ.

Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh góc BMD = góc ACB - BC.

Ta có:
- Góc BMD = α
- Góc ACB - BC = 2α - β - γ

Vậy, góc BMD = góc ACB - BC.

Do đó, góc BMDx2 = ACB - BC.

b) Ta cần chứng minh DB = CE.

Gọi góc BMD là α, góc ACB là β, góc BC là γ.

Ta có:
- Góc BMD = α
- Góc ACB - BC = 2α - β - γ

Ta cần chứng minh DB = CE.

Ta có:
- Tam giác BMD và tam giác CME là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung BM và CM, góc BMD = góc CME = α).
- Vì hai tam giác đồng dạng nên tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Ta có: DB/CE = BM/CM = 1/1 = 1.

Vậy, DB = CE.

Do đó, ta đã chứng minh được DB = CE.