Cho tam giác ABC, đường phân giác AD

Để chứng minh MD là phân giác của góc BMN, ta cần chứng minh rằng tứ giác BMND là tứ giác nội tiếp.

Ta có BM = BD và CN = CD, suy ra BM = CN.
Vì tam giác ABC là tam giác, nên góc BAC = góc B + góc C.
Gọi góc B = x và góc C = y.
Do đó, góc BAC = x + y.

Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên góc BAD = góc CAD = (1/2) * góc BAC = (1/2) * (x + y).

Vì BM = BD, nên góc BDM = góc BMD = x.
Vì CN = CD, nên góc CND = góc CDN = y.

Ta có tứ giác BMND là tứ giác có 4 góc x, (1/2) * (x + y), x và y.
Tổng các góc trong tứ giác BMND là: x + (1/2) * (x + y) + x + y = 2x + (3/2) * y.
Tổng các góc trong tứ giác BMND là 360 độ, nên ta có: 2x + (3/2) * y = 360 độ.

Từ phương trình trên, ta có: 4x + 3y = 720 độ.
Vì góc B + góc C = x + y = 360 độ, nên 4x + 3y = 4(x + y) = 4 * 360 độ = 1440 độ.

Vậy, ta có hệ phương trình:
4x + 3y = 720 độ
4x + 3y = 1440 độ

Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là x = 180 độ và y = 0 độ.

Vậy, ta có tứ giác BMND là tứ giác nội tiếp, và MD là phân giác của góc BMN.