a) Ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC, do đó AM cắt BC tại M và AM = AM.
Vì MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, nên ∠AMB = ∠AMC = 90°.
Do đó, tam giác ∆AMB và ∆AMC có cạnh chung AM và cạnh bằng nhau AM, cùng có góc vuông ∠AMB = ∠AMC.
Vậy, ∆AMB và ∆AMC là hai tam giác cân cân tại đỉnh A và có cạnh bằng nhau AM.

b) Ta đã chứng minh được ∆AMB và ∆AMC là hai tam giác cân cân tại đỉnh A và có cạnh bằng nhau AM.
Vì AM = AM và ∠AMB = ∠AMC = 90°, nên ∆AMB và ∆AMC là hai tam giác vuông cân.
Do đó, AM là đường phân giác của góc BAC.

c) Đường thẳng AM không vuông góc với PQ.
Vì MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, nên MP // AC và MQ // AB.
Do đó, ∠PAM = ∠ACM và ∠QAM = ∠ABM.
Vì ∆AMB và ∆AMC là hai tam giác cân cân tại đỉnh A, nên ∠ABM = ∠ACM.
Vậy, ∠PAM = ∠QAM.
Do đó, tam giác ∆APM và ∆AQM có cạnh chung AM và cùng có góc bằng nhau ∠PAM = ∠QAM.
Vậy, ∆APM và ∆AQM là hai tam giác đồng dạng.
Vì đường thẳng AM là đường trung bình của tam giác ABC, nên AM cắt PQ tại điểm N sao cho AN = NM.
Vậy, AM cắt PQ thành hai đoạn AN và NM có tỉ lệ AN/NM = AP/QM = AM/AM = 1.
Vậy, AM là đường trung tuyến của tam giác ∆APQ.
Do đó, AM không vuông góc với PQ.