a, Tứ giác MEFH là hình chữ nhật. Vì trong tam giác vuông MNP, đường cao MH là đường cao kẻ từ đỉnh vuông góc, nên E và F là hình chiếu của H lên MN và MP. Do đó, tứ giác MEFH là tứ giác có hai cạnh đối nhau vuông góc và hai cạnh còn lại bằng nhau, tức là hình chữ nhật.

b, Ta có:
MN = 3cm, NP = 5cm, NH = 2cm.

Vì tam giác MNP vuông tại M, nên ta có:
MN^2 + NP^2 = MP^2
3^2 + 5^2 = MP^2
9 + 25 = MP^2
34 = MP^2
MP = √34 cm

Vì tam giác MNP vuông tại M, nên ta có:
NH^2 + MP^2 = PH^2
2^2 + (√34)^2 = PH^2
4 + 34 = PH^2
38 = PH^2
PH = √38 cm

Vì tam giác MNP vuông tại M, nên ta có:
NE^2 + NH^2 = EH^2
NE^2 + 2^2 = EH^2
NE^2 + 4 = EH^2

Vì tứ giác MEFH là hình chữ nhật, nên ta có:
EH = MF = NP = 5cm

Từ đó, ta có:
NE^2 + 4 = 5^2
NE^2 + 4 = 25
NE^2 = 21
NE = √21 cm

Vậy NE = √21 cm.

c, Ta có:
Tứ giác MEFH là hình chữ nhật, nên ME = FH.

Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt NP tại I, nên MI là đường cao của tam giác MNP.

Vì ME = FH và MI là đường cao của tam giác MNP, nên MI chia NP thành hai đoạn bằng nhau, tức là I là trung điểm của NP.

Vậy I là trung điểm của NP.