a) Để chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC, ta cần chứng minh rằng MN cắt nhau tại một điểm O và MN chia AB thành hai phần bằng nhau.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì N là trung điểm của AC nên AN = NC.
Vì P là trung điểm của BC nên BP = PC.

Ta có:
AM = MB
AN = NC
BP = PC

Từ đó, ta có:
AM + AN = MB + NC
=> MN = BC

Vậy ta đã chứng minh được rằng MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Độ dài MN là 10 cm vì MN = BC = 10 cm.

b) Để chứng minh MNCP là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng MN song song với CP và MN = CP.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì P là trung điểm của BC nên BP = PC.

Ta có:
AM = MB
BP = PC

Từ đó, ta có:
AM + BP = MB + PC
=> MN = CP

Vậy ta đã chứng minh được rằng MNCP là hình bình hành.

c) Để chứng minh MNPH là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng MN song song với PH và MN = PH.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì P là trung điểm của BC nên BP = PC.
Vì N là trung điểm của AC nên AN = NC.

Ta có:
AM = MB
BP = PC
AN = NC

Từ đó, ta có:
AM + AN = MB + NC
=> MN = BC

Vì AH vuông góc BC, ta có:
PH = BC

Vậy ta đã chứng minh được rằng MNPH là hình thang cân.