a) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Ta cũng có góc B = góc C (vì AB = AC), nên góc ABM = góc ACM.
Vậy tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau theo trường hợp SSS (cạnh - cạnh - cạnh).

b) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Ta cũng có góc B = góc C (vì AB = AC), nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Do đó, góc BAM = góc CAM.
Vậy AM là phân giác của góc BAC theo định nghĩa.

Ta cũng có AM = AM (cạnh chung), nên tam giác AMB và tam giác AMC là tam giác cân tại A.
Vậy góc MAB = góc MAC.
Do đó, góc BAM = góc CAM = góc MAB = góc MAC.
Vậy AM là phân giác của góc BAC.

c) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Lấy D là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AM.
Ta cần chứng minh DB = DC.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì D là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AM, nên AD = DM.
Vậy ta có AM = AD + DM = AD + DB.

Ta cũng có AB = AC, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Do đó, góc BAM = góc CAM.
Vậy góc BAD = góc CAD.

Từ hai điều trên, ta có tam giác ABD và tam giác ACD là tam giác cân tại A.
Vậy góc ABD = góc ACD.

Vậy tam giác ABD và tam giác ACD là tam giác cân tại A và có cạnh chung AD.
Do đó, DB = DC theo tính chất của tam giác cân.

d) Lấy H trên AB và K trên AC sao cho BH = CK.
Ta cần chứng minh MH = MK.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì BH = CK, nên AH = AK (vì AB = AC).
Vậy tam giác ABH và tam giác ACK là tam giác cân tại A.

Vậy góc BAH = góc CAK và góc ABH = góc ACK.

Vậy góc BAH = góc CAK = góc ABH = góc ACK.

Vậy tam giác ABH và tam giác ACK là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH.
Do đó, BH = CK và góc BAH = góc CAK.

Từ hai điều trên, ta có tam giác ABH và tam giác ACK là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH.
Vậy góc BHA = góc CKA.

Vậy tam giác BHA và tam giác CKA là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH.
Do đó, BH = CK và góc BHA = góc CKA.

Vậy tam giác BHA và tam giác CKA là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH.
Vậy góc BHA = góc CKA và BH = CK.

Vậy tam giác BHA và tam giác CKA là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH và BH = CK.
Do đó, góc BAH = góc CAK, góc BHA = góc CKA và BH = CK.

Vậy tam giác BHA và tam giác CKA là tam giác cân tại A và có cạnh chung AH, BH = CK và góc BAH = góc CAK, góc BHA = góc CKA.

Vậy tam giác BHA và tam giác CKA là tam giác cân đồng nhất.
Vậy MH = MK theo tính chất của tam giác cân đồng nhất.