Để chứng minh AM = BN, ta sử dụng hai tam giác đồng dạng. Ta có:

Tam giác APM và tam giác BPN là hai tam giác đồng dạng (cùng có một góc vuông và góc tương đồng), do đó ta có tỉ số đồng dạng:

AP/AM = BP/BN

Vì AM = BP (vì AM và BP là hai cạnh đáy của hình thang), nên ta có:

AP/AM = 1

Từ đó suy ra AP = AM

Tương tự, ta có:

CP/CN = DP/DM

Vì DM = CP (vì DM và CP là hai cạnh đáy của hình thang), nên ta có:

DP/DM = 1

Từ đó suy ra DP = DM

Vậy ta đã chứng minh được AM = BN và MD = MC.

Để tính độ dài đoạn thẳng MP, PN, MN, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MDP:

MD^2 = MP^2 + DP^2

Vì MD = 2MA, nên ta có:

(2MA)^2 = MP^2 + DP^2

4MA^2 = MP^2 + DP^2

Tương tự, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông NDP:

ND^2 = NP^2 + DP^2

Vì ND = 2NB (vì NB là đường cao của tam giác ABC), nên ta có:

(2NB)^2 = NP^2 + DP^2

4NB^2 = NP^2 + DP^2

Từ hai phương trình trên, ta có:

4MA^2 = 4NB^2

MA^2 = NB^2

Vậy ta có MA = NB.

Từ đó suy ra MP = NP = MN/2 (vì MP + NP = MN).

Vậy độ dài đoạn thẳng MP, PN, MN là MN/2.