Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học.

1. Chứng minh AM/AB = DM/DN và BN.DN = NC.MN:
- Ta có hai tam giác DMN và ABN có cạnh chung DN. Theo định lí đường thẳng song song, ta có DM/AB = DN/BN.
- Ta cũng có hai tam giác DMN và ACN có cạnh chung DN. Theo định lí đường thẳng song song, ta có DM/AC = DN/NC.
- Từ hai phương trình trên, ta có DM/AB = DN/BN = DM/AC = DN/NC.
- Từ đó, ta suy ra AM/AB = DM/DN và BN.DN = NC.MN.

2. Chứng minh ID^2 = IM.IN:
- Ta có hai tam giác IDM và IND có cạnh chung ID. Theo định lí đường thẳng song song, ta có IM/ID = IN/ID.
- Từ đó, ta suy ra IM.ID = IN.ID.
- Vì vậy, ta có ID^2 = IM.IN.

3. Chứng minh 1/IJ = 1/AM + 1/DC:
- Ta có hai tam giác IJM và AMJ có cạnh chung MJ. Theo định lí đường thẳng song song, ta có IJ/AM = MJ/AM.
- Ta cũng có hai tam giác IJD và DCD có cạnh chung JD. Theo định lí đường thẳng song song, ta có IJ/DC = JD/DC.
- Từ đó, ta suy ra IJ/AM = JD/DC.
- Đưa về dạng tỉ số, ta có 1/IJ = DC/JD = 1/AM + 1/DC.

Vậy, các phần trên đã được chứng minh.