a) Ta có AB // CD và DC = 2AB, suy ra AD = 3AB. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = AB/2. Tương tự, ta có CN = ND = CD/2 = AB.

Do đó, ta có AM = MB = CN = ND. Từ đó, ta có tứ giác ABPD là hình bình hành vì cạnh AD song song với cạnh BP và cạnh AB bằng cạnh PD.

Tương tự, ta có MN = NP = PQ = QM. Từ đó, ta có tứ giác MNPQ là hình bình hành vì cạnh MN song song với cạnh PQ và cạnh MP bằng cạnh NQ.

b) Để MNPQ là hình thoi, ta cần và đủ có các điều kiện sau:
- Cạnh MN song song với cạnh PQ.
- Cạnh MP bằng cạnh NQ.
- Góc MNQ bằng góc MPQ.

Vì MN = NP = PQ = QM, nên ta có góc MNQ = góc MPQ = 90 độ.

Do đó, để MNPQ là hình thoi, ta cần và đủ có góc MNQ = góc MPQ = 90 độ.