Để (n+3)(n+4) chia hết cho 3n, ta cần phải có phép chia là phép chia hết, tức là phần dư của phép chia (n+3)(n+4) cho 3n phải bằng 0.

Ta có thể viết (n+3)(n+4) dưới dạng khai triển nhân:

(n+3)(n+4) = n(n+4) + 3(n+4) = n^2 + 4n + 3n + 12 = n^2 + 7n + 12

Phần dư của phép chia (n+3)(n+4) cho 3n là phần dư của phép chia n^2 + 7n + 12 cho 3n.

Để phần dư bằng 0, ta cần phải có:

n^2 + 7n + 12 ≡ 0 (mod 3n)

Đặt m = n^2 + 7n + 12, ta có:

m ≡ 0 (mod 3n)

Để tìm giá trị của n, ta có thể thử các giá trị của n từ 1 trở đi và kiểm tra xem m có chia hết cho 3n không.

Ví dụ:

- Khi n = 1, m = 1^2 + 7(1) + 12 = 20. Mặc dù 20 không chia hết cho 3, nhưng ta không thể kết luận rằng không có giá trị n nào thỏa mãn yêu cầu.

- Khi n = 2, m = 2^2 + 7(2) + 12 = 30. 30 không chia hết cho 3, vẫn chưa thể kết luận.

- Khi n = 3, m = 3^2 + 7(3) + 12 = 48. 48 không chia hết cho 3, vẫn chưa thể kết luận.

- Khi n = 4, m = 4^2 + 7(4) + 12 = 76. 76 không chia hết cho 3, vẫn chưa thể kết luận.

- Khi n = 5, m = 5^2 + 7(5) + 12 = 110. 110 không chia hết cho 3, vẫn chưa thể kết luận.

...

Tiếp tục kiểm tra các giá trị n, ta thấy không có giá trị n nào thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không tồn tại số nguyên dương n để (n+3)(n+4) chia hết cho 3n.