Để tìm giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 2(m + 1)x - m^2 - 1 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \), ta cần điều kiện rằng biệt thức của phương trình này phải dương:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -2(m + 1) \), và \( c = -m^2 - 1 \).

Tính biệt thức:

\[
\Delta = (-2(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2 - 1)
\]

\[
= 4(m + 1)^2 + 4(m^2 + 1)
\]

\[
= 4((m + 1)^2 + (m^2 + 1))
\]

\[
= 4(m^2 + 2m + 1 + m^2 + 1)
\]

\[
= 4(2m^2 + 2m + 2) = 8(m^2 + m + 1)
\]

Ta cần \( 8(m^2 + m + 1) > 0 \). Vì \( m^2 + m + 1 \) luôn dương cho mọi giá trị của \( m \) (vì nó không có nghiệm thực), nên điều kiện này luôn thỏa mãn cho mọi \( m \).

Tiếp theo, để tìm giá trị của \( T = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 \) với \( x_1 + x_2 = 2(m + 1) \) và \( x_1x_2 = -m^2 - 1 \), ta có:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]

\[
= (2(m + 1))^2 - 2(-m^2 - 1)
\]

\[
= 4(m + 1)^2 + 2(m^2 + 1)
\]

\[
= 4(m^2 + 2m + 1) + 2m^2 + 2
\]

\[
= 6m^2 + 8m + 6
\]

Vậy:

\[
T = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = 6m^2 + 8m + 6 - m^2 - 1 = 5m^2 + 8m + 5
\]

Để tìm giá trị tối thiểu của \( T \), ta tính đạo hàm và giải phương trình:

\[
T' = 10m + 8
\]

Đặt \( T' = 0 \):

\[
10m + 8 = 0 \Rightarrow m = -\frac{4}{5}
\]

Bây giờ, thay \( m = -\frac{4}{5} \) vào biểu thức \( T \):

\[
T = 5\left(-\frac{4}{5}\right)^2 + 8\left(-\frac{4}{5}\right) + 5
\]
\[
= 5 \cdot \frac{16}{25} - \frac{32}{5} + 5
\]
\[
= \frac{80}{25} - \frac{160}{25} + \frac{125}{25}
\]
\[
= \frac{80 - 160 + 125}{25} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}
\]

Vậy giá trị của \( T \) có giá trị nhỏ nhất là \( \frac{9}{5} \) khi \( m = -\frac{4}{5} \).