Cho tam giác ABC có AB=AC

a) Ta có AM = AN và góc ANM = góc ACB, suy ra tam giác AMN và tam giác ACB đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc). Do đó, ta có góc MNA = góc BAC và góc NMA = góc CBA.

Vì AB = AC, nên góc BAC = góc CBA. Kết hợp với góc MNA = góc BAC và góc NMA = góc CBA, ta có góc MNA = góc NMA.

Do đó, tam giác AMN là tam giác cân tại M. Vì vậy, ta có MN song song với đoạn thẳng BC.

b) Ta có MN song song với BC (theo câu a). Vì BN cắt CM tại điểm O, nên theo định lí của đường song song, ta có góc BNM = góc CNB.

Do đó, tam giác BNM = tam giác CNB.

c) Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta cần chứng minh A, O, F thẳng hàng.

Vì AB = AC và AM = AN, nên tam giác AMN và tam giác ACB đồng dạng (theo trường hợp góc - góc - góc).

Do đó, góc MNA = góc BAC và góc NMA = góc CBA.

Vì F là trung điểm của BC, nên góc BFC = góc CFB = 90 độ.

Kết hợp với góc MNA = góc BAC và góc NMA = góc CBA, ta có góc BFA = góc CAF.

Vậy, ta có góc BFA = góc CAF = góc BAC.

Do đó, tam giác BFA đồng dạng với tam giác CAF (theo trường hợp góc - góc - góc).

Vì F là trung điểm của BC, nên BF = CF.

Kết hợp với tam giác BFA đồng dạng với tam giác CAF, ta có BA = CA.

Vậy, ta có tam giác BAF = tam giác CAF (theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).

Do đó, góc BAF = góc CAF.

Vậy, ta có góc BAF = góc CAF = góc BAC.

Kết hợp với góc BFA = góc CAF = góc BAC, ta có tam giác BAF = tam giác CAF (theo trường hợp góc - góc - góc).

Vậy, ta có BF = CF và tam giác BAF = tam giác CAF.

Do đó, F nằm trên đường thẳng AO.

Vậy, ta chứng minh được ba điểm A, O, F thẳng hàng.