Chứng minh các phân số sau ra phân số tối giản với mọi n

a) Để chứng minh rằng phân số (n - 5)/(n - 4) là phân số tối giản với mọi n, ta cần chứng minh rằng (n - 5) và (n - 4) không có ước chung ngoài 1.

Giả sử (n - 5) và (n - 4) có ước chung d > 1. Khi đó, ta có thể viết được:
n - 5 = dx
n - 4 = dy
với x, y là các số nguyên dương.

Từ đó, ta suy ra:
dx + 1 = dy
dx - dy = -1
d(x - y) = -1

Vì d > 1, nên x - y = -1/d. Tuy nhiên, x và y là các số nguyên dương, nên x - y không thể là một số nhỏ hơn 1. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy giả định ban đầu là sai.

Do đó, ta kết luận rằng phân số (n - 5)/(n - 4) là phân số tối giản với mọi n.

b) Tương tự, để chứng minh rằng phân số (2n + 1)/(2n + 3) là phân số tối giản với mọi n, ta cần chứng minh rằng (2n + 1) và (2n + 3) không có ước chung ngoài 1.

Giả sử (2n + 1) và (2n + 3) có ước chung d > 1. Khi đó, ta có thể viết được:
2n + 1 = dx
2n + 3 = dy
với x, y là các số nguyên dương.

Từ đó, ta suy ra:
dx + 2 = dy
dx - dy = -2
d(x - y) = -2

Vì d > 1, nên x - y = -2/d. Tuy nhiên, x và y là các số nguyên dương, nên x - y không thể là một số nhỏ hơn 2. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy giả định ban đầu là sai.

Do đó, ta kết luận rằng phân số (2n + 1)/(2n + 3) là phân số tối giản với mọi n.