a) Ta có:
- Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có AC là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O), nên góc AOC = 90 độ.
- Tương tự, ta có góc BOD = 90 độ.
- Vì Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn (O), nên góc AOB = 90 độ.
- Từ đó, ta có góc COD = góc AOC + góc BOD = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
- Vậy góc COD = 180 độ.

Tiếp theo, ta chứng minh CD = AC + BD:
- Gọi E là giao điểm của Ax và By.
- Ta có góc AEC = góc AOC = 90 độ (do AC là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O)).
- Tương tự, ta có góc BED = góc BOD = 90 độ.
- Vì góc AEC = góc BED = 90 độ, nên tứ giác AECD và BEDC là tứ giác nội tiếp.
- Do đó, ta có tứ giác AECD và BEDC là tứ giác cùng nội tiếp, nên tứ giác AECD và BEDC là tứ giác đồng dạng.
- Vậy, ta có CD/AC = BD/ED.
- Từ đó, ta có CD = AC + BD.

b) Ta có:
- Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O) và Ax.
- Ta có góc MFA = góc MCA = 90 độ (do MC là tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O)).
- Tương tự, ta có góc MFB = góc MDB = 90 độ.
- Vì góc MFA = góc MFB = 90 độ, nên tứ giác MFAD và MFBE là tứ giác nội tiếp.
- Do đó, ta có tứ giác MFAD và MFBE là tứ giác cùng nội tiếp, nên tứ giác MFAD và MFBE là tứ giác đồng dạng.
- Vậy, ta có OD//MA.

c) Ta có:
- Gọi I' là giao điểm của OD và MB.
- Ta có góc MFI' = góc MBI' = 90 độ (do MI' là tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O)).
- Tương tự, ta có góc MFI = góc MAI = 90 độ.
- Vì góc MFI' = góc MFI = 90 độ, nên tứ giác MFI'I và MFI'A là tứ giác nội tiếp.
- Do đó, ta có tứ giác MFI'I và MFI'A là tứ giác cùng nội tiếp, nên tứ giác MFI'I và MFI'A là tứ giác đồng dạng.
- Vậy, ta có DI.DO = DE.DA.