Để chứng minh rằng n mũ 5 và n có chữ số tận cùng như nhau với n thuộc N, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra đẳng thức đúng với n = 1.
1 mũ 5 = 1 và chữ số tận cùng của 1 cũng là 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với một số nguyên k bất kỳ, tức là k mũ 5 và k có chữ số tận cùng như nhau.

Bước 3: Chứng minh đẳng thức cũng đúng với số nguyên k+1.

Ta có:
(k+1) mũ 5 = k mũ 5 + 5k mũ 4 + 10k mũ 3 + 10k mũ 2 + 5k + 1

Chữ số tận cùng của k mũ 5 là chữ số tận cùng của k, do đó chữ số tận cùng của k mũ 5 và k là như nhau.

Chữ số tận cùng của 5k mũ 4 là 0, vì chữ số tận cùng của k mũ 4 là 0.

Chữ số tận cùng của 10k mũ 3 là 0, vì chữ số tận cùng của k mũ 3 là 0.

Chữ số tận cùng của 10k mũ 2 là 0, vì chữ số tận cùng của k mũ 2 là 0.

Chữ số tận cùng của 5k là 5, vì chữ số tận cùng của k là chữ số tận cùng của k mũ 5.

Vậy chữ số tận cùng của (k+1) mũ 5 cũng là 5.

Do đó, với mọi số nguyên dương n thuộc N, n mũ 5 và n có chữ số tận cùng như nhau.