Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất về trung điểm và đồng dạng của tam giác.

a) Ta có E là trung điểm của AB, nên AE = EB. Vì EM = EC, nên ta có:

AE + EM = EB + EC

Vì AE = EB, nên ta có:

2AE = EC + EM

Nhưng EC = EM, nên ta có:

2AE = 2EM

Do đó, AE = EM.

Vậy tam giác AEM là tam giác cân tại E. Ta cũng có BE = EC (vì E là trung điểm của AB), nên tam giác BEC cũng là tam giác cân tại E.

Vậy tam giác AEM và tam giác BEC là hai tam giác cân có cạnh chung EM, nên chúng đồng dạng.

b) Ta có CN = AB (theo đề bài). Vì AE = EM (vừa chứng minh ở câu a), nên ta có:

AN = AE + EN = EM + EN

Nhưng EC = EM, nên ta có:

AN = EC + EN

Vì CN = EC, nên ta có:

AN = CN + EN

Do đó, tam giác ANC là tam giác cân tại N. Ta cũng có BC = CN (vì CN = AB), nên tam giác ANC cũng là tam giác cân tại N.

Vậy tam giác ANC và tam giác BNC là hai tam giác cân có cạnh chung CN, nên chúng đồng dạng.

Vậy AN = BC.

c) Ta đã chứng minh ở câu a rằng tam giác AEM và tam giác BEC đồng dạng. Vậy ta có:

∠AEM = ∠BEC

Vì ∠AEM là góc nội tiếp của tam giác AEN, và ∠BEC là góc nội tiếp của tam giác BEN, nên ta có:

∠AEN = ∠BEN

Vậy ta có tam giác AEN và tam giác BEN đồng dạng.

Vì tam giác ANC và tam giác BNC đồng dạng (theo câu b), nên ta có:

∠ANC = ∠BNC

Vậy ta có tam giác ANC và tam giác BNC đồng dạng.

Vì tam giác AEN và tam giác BEN đồng dạng, và tam giác ANC và tam giác BNC đồng dạng, nên ta có tam giác AEN và tam giác BNC đồng dạng.

Vậy ta có ∠AEN = ∠BNC.

Nhưng ta cũng có ∠AEN = ∠CEN (vì E là trung điểm của AB), nên ta có:

∠CEN = ∠BNC

Vậy ta có tam giác CEN và tam giác BNC đồng dạng.

Vì tam giác CEN và tam giác BNC đồng dạng, nên ta có CN = BC (theo tính chất của tam giác đồng dạng).

Vậy A là trung điểm của MN.