Tìm 3 chữ số tận cùng của số 2^2023^2024

Để tìm 3 chữ số cuối cùng của một số, chúng ta chỉ quan tâm đến phần dư của số đó khi chia cho 1000.

Đầu tiên, ta tính phần dư của 2^2023 khi chia cho 1000. Ta biết rằng 2^10 ≡ 24 (mod 1000) (vì 2^10 = 1024). Do đó, ta có thể tính 2^2023 ≡ (2^10)^202 * 2^3 ≡ 24^202 * 8 ≡ 376 * 8 ≡ 208 (mod 1000).

Tiếp theo, ta tính phần dư của 2024^2024 khi chia cho 1000. Ta biết rằng 2024 ≡ 24 (mod 1000) (vì 2024 = 20 * 100 + 24). Do đó, ta có thể tính 2024^2024 ≡ 24^2024 (mod 1000).

Để tính 24^2024, ta có thể sử dụng định lý Euler. Ta biết rằng nếu a và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là hàm Euler của m (số lượng số nguyên tố cùng nhau với m trong khoảng từ 1 đến m).

Trong trường hợp này, m = 1000 và a = 24. Ta biết rằng φ(1000) = φ(2^3 * 5^3) = 1000 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 400. Do đó, ta có 24^400 ≡ 1 (mod 1000).

Tiếp theo, ta tính phần dư của 2024 khi chia cho 400. Ta biết rằng 2024 ≡ 24 (mod 400) (vì 2024 = 5 * 400 + 24). Do đó, ta có thể tính 24^2024 ≡ 24^24 (mod 1000).

Để tính 24^24, ta có thể sử dụng định lý Euler một lần nữa. Ta biết rằng φ(400) = φ(2^4 * 5^2) = 400 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 160. Do đó, ta có 24^160 ≡ 1 (mod 400).

Tiếp theo, ta tính phần dư của 24 khi chia cho 160. Ta biết rằng 24 ≡ 24 (mod 160) (vì 24 = 0 * 160 + 24). Do đó, ta có thể tính 24^24 ≡ 24^24 (mod 1000).

Cuối cùng, ta tính phần dư của 24 khi chia cho 1000. Ta biết rằng 24 ≡ 24 (mod 1000) (vì 24 = 0 * 1000 + 24). Do đó, ta có 24^24 ≡ 24^24 (mod 1000).

Vậy, 3 chữ số cuối cùng của số 2^2023^2024 là 208.