4 điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn

a) Ta có:
$\angle{MKB}=\angle{MKA}+\angle{AKB}=\angle{MKA}+\angle{HKB}=\angle{MKA}+\angle{HCA}=\angle{MKA}+\angle{HJA}=\angle{MJA}$
Vậy tứ giác MKBJ là tứ giác nội tiếp. Tương tự, ta cũng có tứ giác MPCK là tứ giác nội tiếp. Do đó, 4 điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
$\angle{MNI}=\angle{MNA}+\angle{ANI}=\angle{MNA}+\angle{HAI}=\angle{MNA}+\angle{HCA}=\angle{MNA}+\angle{HJA}=\angle{MJA}$
Vậy tứ giác MNJI là tứ giác nội tiếp. Tương tự, ta cũng có tứ giác MPKI là tứ giác nội tiếp. Do đó, 6 điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta đã chứng minh ở câu b) rằng 6 điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn. Ta cũng đã chứng minh ở câu a) rằng 4 điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn. Vậy, 9 điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.