Để tính f(x) khi x = 2005, ta thay x = 2005 vào biểu thức f(x):

f(2005) = 2005^2005 - 2006*2005^2004 + 2006*2005^2003 - ... - 2006*2005^2 + 2006*2005 - 1

Ta nhận thấy rằng mỗi số hạng trong biểu thức có dạng (-1)^k * 2006 * 2005^k, với k là số mũ của x. Ta có thể viết lại biểu thức f(x) như sau:

f(2005) = (-1)^0 * 2006 * 2005^0 + (-1)^1 * 2006 * 2005^1 + (-1)^2 * 2006 * 2005^2 + ... + (-1)^2004 * 2006 * 2005^2004 + (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005 - 1

Ta nhận thấy rằng mỗi số hạng có dạng (-1)^k * 2006 * 2005^k, với k là số mũ của x. Ta có thể nhóm các số hạng có cùng dấu lại với nhau:

f(2005) = [(-1)^0 * 2006 * 2005^0 + (-1)^2 * 2006 * 2005^2 + ... + (-1)^2004 * 2006 * 2005^2004] + [(-1)^1 * 2006 * 2005^1 + (-1)^3 * 2006 * 2005^3 + ... + (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005] - 1

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp số hạng có dạng (-1)^k * 2006 * 2005^k và (-1)^(k+1) * 2006 * 2005^(k+1) có thể nhóm lại thành một số hạng:

f(2005) = [(-1)^0 * 2006 * 2005^0 + (-1)^2 * 2006 * 2005^2 + ... + (-1)^2004 * 2006 * 2005^2004] + [(-1)^1 * 2006 * 2005^1 + (-1)^3 * 2006 * 2005^3 + ... + (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005] - 1
= [(-1)^0 * 2006 * 2005^0 + (-1)^2 * 2006 * 2005^2 + ... + (-1)^2004 * 2006 * 2005^2004] - [(-1)^1 * 2006 * 2005^1 + (-1)^3 * 2006 * 2005^3 + ... + (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005] - 1

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp số hạng có dạng (-1)^k * 2006 * 2005^k và (-1)^(k+1) * 2006 * 2005^(k+1) có thể nhóm lại thành một số hạng:

f(2005) = [(-1)^0 * 2006 * 2005^0 - (-1)^1 * 2006 * 2005^1] + [(-1)^2 * 2006 * 2005^2 - (-1)^3 * 2006 * 2005^3] + ... + [(-1)^2004 * 2006 * 2005^2004 - (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005] - 1

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp số hạng có dạng (-1)^k * 2006 * 2005^k và (-1)^(k+1) * 2006 * 2005^(k+1) có thể nhóm lại thành một số hạng:

f(2005) = [(-1)^0 * 2006 * 2005^0 - (-1)^1 * 2006 * 2005^1] + [(-1)^2 * 2006 * 2005^2 - (-1)^3 * 2006 * 2005^3] + ... + [(-1)^2004 * 2006 * 2005^2004 - (-1)^2005 * 2006 * 2005^2005] - 1
= 2006 * (2005^0 - 2005^1 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004 - (-1)^2005 * 2005^2005) - 1

Ta nhận thấy rằng biểu thức trong ngoặc có dạng một dãy số học hình cấp số cộng với công sai là -2005. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng, ta có:

2005^0 - 2005^1 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004 - (-1)^2005 * 2005^2005 = (2005^0 - 2005^1 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) + (-1)^2005 * 2005^2005
= (1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) + (-1)^2005 * 2005^2005
= (1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) - 2005^2005

Vậy ta có:

f(2005) = 2006 * (2005^0 - 2005^1 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004 - (-1)^2005 * 2005^2005) - 1
= 2006 * [(1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) - 2005^2005] - 1
= 2006 * [(1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004)] - 2006 * 2005^2005 - 1

Để tính giá trị của biểu thức trong ngoặc, ta nhận thấy rằng đây là một dãy số học hình cấp số cộng với công sai là -2005. Áp dụng công thức tổng của cấp số cộng, ta có:

1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004 = (1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) + (-1)^2005 * 2005^2005
= (1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) - 2005^2005

Vậy ta có:

f(2005) = 2006 * [(1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004)] - 2006 * 2005^2005 - 1
= 2006 * [(1 - 2005 + 2005^2 - 2005^3 + ... + (-1)^2004 * 2005^2004) - 2005^2005] - 1
= 2006 * 0 - 1
= -1

Vậy f(2005) = -1.