1/ Ta có: AB/MN = BC/PN = AC/MP (do tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP)
Vậy AB/MN = AC/MP = BC/PN = 4/8 = 1/2
Gọi chu vi tam giác MNP là P.
Ta có: P = MN + NP + MP = 8 + 2MP + MP = 8 + 3MP
Vì chu vi tam giác ABC = 12cm, nên AB + BC + AC = 12
4 + BC + AC = 12
BC + AC = 8
Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP, nên BC/PN + AC/MP = 8/P + 1/2 = 8
Ta có: 8/P + 1/2 = 8
8/P = 8 - 1/2 = 15/2
P = 2/15 * 8 = 16/15 cm

2/ a) Ta có: tam giác ABE và tam giác ACF có 2 góc nhọn A và ECF bằng nhau (do đường cao BE và CF cắt nhau tại E)
Góc ABE = 180° - góc EAB - góc EBA = 180° - góc EAC - góc ECB = góc ACF
Góc BAE = 180° - góc ABE - góc EAB = 180° - góc ACF - góc EAC = góc CAF
Vậy tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF.

b) Ta có: góc BAE = góc CAF (do tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF)
Vậy tam giác ABE và tam giác ACF có 2 góc bằng nhau.
Áp dụng định lý cạnh - góc - cạnh, ta có:
AF/AB = sin(góc BAE)
AE/AC = sin(góc CAF)
Vậy AF/AB = AE/AC
Từ đó suy ra: AF . AB = AE . AC