Cho tam giác ABC cân tại A diểm M thuộc AB, N thuộc AC sao cho AM=AN

a) Ta có AM = AN (giả thiết) và AC = AB (tam giác cân), nên tam giác AMC và tam giác ANB là hai tam giác cân có cạnh chung AM. Do đó, ta có CM = CN và góc AMC = góc ANB. Vậy ta có CM tam giác AMC = tam giác ANB.

b) Ta có AM = AN (giả thiết) và AB = AC (tam giác cân), nên tam giác BMC và tam giác CNB là hai tam giác cân có cạnh chung BC. Do đó, ta có BM = CN và góc BMC = góc CNB. Vậy ta có BM tam giác BMC = tam giác CNB.

c) Gọi K là giao điểm của BN và CM. Ta cần chứng minh KB = KC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA.
Vì tam giác BMC và tam giác CNB là hai tam giác cân, nên ta có góc BMC = góc CNB.
Vậy, ta có góc BAC = góc BMC = góc CNB = góc BCA.
Do đó, tam giác BKC là tam giác cân tại K.
Vì tam giác BKC là tam giác cân, nên ta có KB = KC.

d) Kéo dài AK cắt BC tại I. Ta cần chứng minh I là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA.
Vì tam giác BMC và tam giác CNB là hai tam giác cân, nên ta có góc BMC = góc CNB.
Vậy, ta có góc BAC = góc BMC = góc CNB = góc BCA.
Do đó, tam giác BKC là tam giác cân tại K.
Vì tam giác BKC là tam giác cân, nên ta có KB = KC.
Vì K là giao điểm của BN và CM, nên ta có BM = CN.
Vậy, ta có BM = CN = KB = KC.
Do đó, I là trung điểm của BC.

e) Ta cần chứng minh AI vuông góc BC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA.
Vì tam giác BMC và tam giác CNB là hai tam giác cân, nên ta có góc BMC = góc CNB.
Vậy, ta có góc BAC = góc BMC = góc CNB = góc BCA.
Do đó, tam giác BKC là tam giác cân tại K.
Vì tam giác BKC là tam giác cân, nên ta có KB = KC.
Vì K là giao điểm của BN và CM, nên ta có BM = CN.
Vậy, ta có BM = CN = KB = KC.
Vì I là trung điểm của BC, nên ta có BI = IC.
Vì tam giác BKC là tam giác cân, nên ta có góc BKC = góc BCK.
Vậy, ta có góc BIC = góc BKC = góc BCK.
Do đó, tam giác BIC là tam giác cân tại I.
Vậy, ta có AI vuông góc BC.