Cho 2 đường tròn (O,R) và (O',r) với R>r tiếp xúc trong tại A

Để chứng minh rằng tia AM là phân giác của góc BAC, ta cần chứng minh rằng góc BAM bằng góc CAM.

Gọi I là giao điểm của tia AM và đường tròn (O',r). Ta cần chứng minh rằng góc BAM bằng góc CAM, tức là góc BAI bằng góc CAI.

Vì dây BC của đường tròn (O,R) tiếp xúc với đường tròn (O',r) tại M, nên góc BMC là góc vuông. Do đó, góc BIM cũng là góc vuông.

Ta có:
- Góc BAI = góc BAM + góc MAI (1)
- Góc CAI = góc CAM + góc MAI (2)

Từ (1) và (2), ta cần chứng minh rằng góc BAM bằng góc CAM, tức là góc BAI bằng góc CAI.

Giả sử góc BAI khác góc CAI. Khi đó, góc BAI + góc CAI > 180 độ. Nhưng góc BAI + góc CAI = góc BAM + góc MAI + góc CAM + góc MAI = góc BAM + góc CAM + 2góc MAI = 180 độ (vì góc BAM + góc CAM = 180 độ và góc MAI = góc MAI).

Vậy giả sử sai, tức là góc BAI bằng góc CAI. Do đó, tia AM là phân giác của góc BAC.