Cho đường tròn (O), đường kính BC=2R (R là không đổi). Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B,C), kẻ AH vuông góc với BC tại H. vẽ đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC lần lượt tại M,N

a) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có AH là đường cao nên AH = 2R (với R là bán kính đường tròn (O)).
- Đường tròn (I) có đường kính AH nên đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm A.
- Do đó, ta có AM = AN = AH/2 = R.
- Vì AM = AN nên tam giác AMN là tam giác cân tại M và N.
- Ta có góc MAN = góc BAC (cùng nằm trên cùng một cung AMN của đường tròn (O)).
- Vì góc BAC = 90 độ (do AH vuông góc với BC) nên góc MAN = 90 độ.
- Vậy tam giác AMN là tam giác vuông tại M.
- Do đó, ta có MN = AH (cạnh huyền của tam giác vuông AMN) = 2R.
- Vậy MN = AH.

b) Ta có:
- Gọi I là trung điểm của MN.
- Vì AI là đường phân giác của góc MAN nên AI vuông góc với MN tại I.
- Ta có AI = IM = IN (vì I là trung điểm của MN).
- Vậy tam giác AIM và AIN là tam giác đều.
- Do đó, góc AMI = góc ANI = 60 độ.
- Vì góc AMI + góc ANI = 120 độ nên góc AMN = 180 - 120 = 60 độ.
- Vậy tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp (vì tổng các góc trong tứ giác BMNC bằng 360 độ và góc AMN = 60 độ).
- Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.