Để chứng minh các phần a) và b), ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác vuông và đồng dạng.

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AB² = AC² + BC²
Do AD = AB và AE = AC, ta có:
AD² = AB² = AC² + BC² = AE² + BC²
Vậy tam giác ADE vuông tại D.

Vì tam giác ADE vuông tại D, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AE² = AD² + DE²
Do AE = AC và AD = AB, ta có:
AC² = AB² + DE²
Vậy tam giác ABC vuông tại A và tam giác ADE vuông tại D có cạnh huyền bằng nhau, nên theo định lí đồng dạng, ta có:
tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE
Do đó, góc DMH = góc BAC = góc EAD = góc ENH
Vậy tam giác DMH đồng dạng với tam giác ENH
Do đó, ta có:
DM/EN = DH/EH
Vì DH = EH (do H là trung điểm BC), nên ta có:
DM = EN
Vậy DM = AH.

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AB² = AC² + BC²
Do AD = AB và AE = AC, ta có:
AD² = AB² = AC² + BC² = AE² + BC²
Vậy tam giác ADE vuông tại D.

Vì tam giác ADE vuông tại D, nên theo định lí Pythagoras, ta có:
AE² = AD² + DE²
Do AE = AC và AD = AB, ta có:
AC² = AB² + DE²
Vậy tam giác ABC vuông tại A và tam giác ADE vuông tại D có cạnh huyền bằng nhau, nên theo định lí đồng dạng, ta có:
tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE
Do đó, góc DMH = góc BAC = góc EAD = góc ENH
Vậy tam giác DMH đồng dạng với tam giác ENH
Vì M là trung điểm DH và N là trung điểm EH, nên theo định lí đồng dạng, ta có:
tam giác DMN đồng dạng với tam giác EHN
Vậy MN đi qua trung điểm DE.