a. Ta giả sử số tự nhiên cần tìm là x.
Nếu thêm 51 vào x, ta được số chính phương là x + 51 = a^2.
Nếu bớt 28 từ x, ta được số chính phương là x - 28 = b^2.
Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
x + 51 = a^2
x - 28 = b^2
Từ đó, ta có:
a^2 - b^2 = 79
(a + b)(a - b) = 79
Vì 79 là số nguyên tố, nên ta có các trường hợp sau:
a + b = 79 và a - b = 1
a + b = -79 và a - b = -1
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 40, b = 39 hoặc a = -40, b = -39.
Vậy số tự nhiên cần tìm là x = a^2 - 51 = 40^2 - 51 = 1559 hoặc x = (-40)^2 - 51 = 1559.

b. Tương tự như câu a, ta giả sử số tự nhiên cần tìm là x.
Nếu thêm 16 vào x, ta được số chính phương là x + 16 = a^2.
Nếu bớt 25 từ x, ta được số chính phương là x - 25 = b^2.
Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
x + 16 = a^2
x - 25 = b^2
Từ đó, ta có:
a^2 - b^2 = 41
(a + b)(a - b) = 41
Vì 41 là số nguyên tố, nên ta có các trường hợp sau:
a + b = 41 và a - b = 1
a + b = -41 và a - b = -1
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 21, b = 20 hoặc a = -21, b = -20.
Vậy số tự nhiên cần tìm là x = a^2 - 16 = 21^2 - 16 = 425 hoặc x = (-21)^2 - 16 = 425.

c. Tương tự như câu a và b, ta giả sử số tự nhiên cần tìm là x.
Nếu thêm 64 vào x, ta được số chính phương là x + 64 = a^2.
Nếu bớt 35 từ x, ta được số chính phương là x - 35 = b^2.
Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
x + 64 = a^2
x - 35 = b^2
Từ đó, ta có:
a^2 - b^2 = 99
(a + b)(a - b) = 99
Vì 99 = 3 * 3 * 11, nên ta có các trường hợp sau:
a + b = 99 và a - b = 1
a + b = 33 và a - b = 3
a + b = 11 và a - b = 9
a + b = 9 và a - b = 11
a + b = 3 và a - b = 33
a + b = 1 và a - b = 99
Giải các hệ phương trình trên, ta được các giá trị a và b không là số tự nhiên.
Vậy không tồn tại số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu của câu c.