Cho△ ABC có AB < AC

a) Ta có CE = AB và CN = NA (do M và N là trung điểm của AE và BC), nên tam giác CEN và BAN là tam giác đồng dạng theo định lí cạnh - góc - cạnh.
Do đó, ta có góc CNE = góc BAN.
Vì góc CNE và góc BAN là góc đối của nhau nên góc CNE = góc BAN = góc BAC.
Tương tự, ta có góc CEN = góc BNA = góc BAC.
Vậy, ta có △ AHB = △ EHC (cùng có 2 góc bằng nhau và cạnh chung).

b) Ta có góc HAB = góc HAC (do AH là đường phân giác của góc BAC).
Vì △ AHB = △ EHC (theo câu a), nên góc HBA = góc HEC.
Vậy, góc HAB + góc HBA = góc HAC + góc HEC.
Do đó, góc HAC = góc HEC.
Vậy, AH là đường phân giác của góc BAC.

c) Ta có góc MAF = góc MFA (do MF là đường phân giác của góc AMB).
Vì MF vuông góc với AB, nên góc MAF = 90 - góc AMF.
Vậy, góc AMF = 90 - góc MAF.
Tương tự, góc NBF = 90 - góc BNF.
Vì △ AHB = △ EHC (theo câu a), nên góc HAB = góc HEC.
Vậy, góc HAF = góc HAE - góc FAE = góc HAB - góc BAF = góc HEC - góc NBF = góc HFC.
Do đó, góc HAF = góc HFC.
Vậy, BF = MC (do góc HAF = góc HFC).
Vì MF là đường phân giác của góc AMB, nên AM = MF.
Vậy, AE = 2AF (do M là trung điểm của AE).
Vậy, BF = MC và AE = 2AF.