Để chứng minh các phần tử A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA // CD, ta sẽ sử dụng định lí về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

1) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn:
Ta có hai tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O), do đó góc BAC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC. Theo định lí về góc ngoại tiếp, góc BOC là góc nội tiếp của tam giác ABC. Vậy A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh OA // CD:
Gọi M là giao điểm của AB và CD. Ta cần chứng minh OM // AD.
Do A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn, nên góc BOC là góc nội tiếp của tam giác ABC. Theo định lí về góc nội tiếp, góc BOC = góc BAC.
Ta có góc BOC = góc BAC = góc BDC (do BD là đường kính của đường tròn (O)).
Do đó, tam giác BOC và tam giác BDC có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Từ đó, ta có:
BO/BD = BC/BD
Simplifying, ta có:
BO/BD = BC/BD
BO = BC
Vậy tam giác BOC và tam giác BCD đồng dạng.
Do đó, góc BCD = góc BOC = góc BAC.
Vậy ta có góc BCD = góc BAC, từ đó suy ra OM // AD.
Vậy ta đã chứng minh được OA // CD.

3) Chứng minh góc ODE = góc OAD:
Ta có OA // CD (đã chứng minh ở bước 2).
Do đó, góc ODE = góc OAD (do là góc đồng phía).
Vậy ta đã chứng minh được góc ODE = góc OAD.

4) Chứng minh KB.KC = 4KI^2:
Gọi H là giao điểm của CK và BD.
Ta cần chứng minh KH = 2KI.
Do CK vuông góc với BD, ta có góc BKH = 90 độ.
Vì góc BKH = 90 độ, nên tam giác BKH là tam giác vuông tại K.
Do đó, ta có:
KH^2 = KB^2 + BH^2 (theo định lí Pythagoras)
Vì BH = CH (do BHC là tam giác cân), nên ta có:
KH^2 = KB^2 + CH^2
Vì BC // OA (do A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn), nên ta có:
BC/OA = CH/OA
Vì OA // CD (đã chứng minh ở bước 2), nên ta có:
BC/CD = CH/CD
Vậy BC = CH.
Từ đó, ta có:
KH^2 = KB^2 + BC^2
Vì BC = CH, nên ta có:
KH^2 = KB^2 + CH^2
Vì KH = 2KI (do tam giác BKH là tam giác vuông tại K), nên ta có:
(2KI)^2 = KB^2 + CH^2
4KI^2 = KB^2 + CH^2
Vì BC = CH, nên ta có:
4KI^2 = KB^2 + BC^2
Vậy ta đã chứng minh được KB.KC = 4KI^2.

Vậy ta đã chứng minh được các phần tử A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA // CD, cũng như góc ODE = góc OAD và KB.KC = 4KI^2.