Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB và AC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AB² = AM² + BM²
AC² = AM² + CM²
Vì BM = CM (vì M là trung điểm của BC), nên ta có:
AB² = AC²
AM² + BM² = AM² + CM²
BM² = CM²
Vậy BM = CM

Do đó, tam giác MDE là tam giác cân tại M, nên ta có:
MD = ME

Vậy, ta có AM = DE.

b) Gọi I là trung điểm của ID và K là trung điểm của EK.

Ta có:
AI = ID/2
AK = EK/2

Vì AM = DE (theo câu a), nên ta có:
AM = AE - ME
AM = AC - CM
AM = AC - BM
AM = AC - AK
AM = CK

Vậy, ta có AI = CK.

Do đó, ta có tam giác AIK là tam giác cân tại I, nên ta có:
EI = EK (do I là trung điểm của EK)
DK = DI (do K là trung điểm của ID)

Vậy, ta có EI = DK và EI // DK.