Cho đường tròn (O, R). Vẽ dây AB = R√2 của (O). Từ A, B vẽ các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C. Tính độ dài cung nhỏ AB và diện tích phần của tứ giác AOBC nằm ngoài hình tròn (O)

a) Độ dài cung nhỏ AB là 2πR/2 = πR.

Để tính diện tích phần của tứ giác AOBC nằm ngoài hình tròn (O), ta cần tính diện tích tứ giác AOBC và trừ đi diện tích hình tròn (O).

Diện tích tứ giác AOBC có thể tính bằng công thức diện tích tứ giác lồi:

S(AOBC) = 1/2 * AB * OC * sin(∠AOB)

Vì ∠AOB là góc giữa hai tiếp tuyến AB và RV, nên ∠AOB = ∠RVO = ∠RVC = ∠OCV.

Vì OC là đường cao của tam giác OCV, nên OC = RV = 2R.

Vậy diện tích tứ giác AOBC là:

S(AOBC) = 1/2 * AB * OC * sin(∠AOB) = 1/2 * πR * 2R * sin(∠OCV) = πR^2 * sin(∠OCV).

Diện tích hình tròn (O) là S(O) = πR^2.

Vậy diện tích phần của tứ giác AOBC nằm ngoài hình tròn (O) là:

S = S(AOBC) - S(O) = πR^2 * sin(∠OCV) - πR^2 = πR^2 * (sin(∠OCV) - 1).

b) Để tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB, ta cần tính diện tích hình tròn (O) trừ đi diện tích tam giác AOB.

Diện tích tam giác AOB có thể tính bằng công thức diện tích tam giác:

S(AOB) = 1/2 * AB * OC * sin(∠AOB) = 1/2 * πR * 2R * sin(∠OCV) = πR^2 * sin(∠OCV).

Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB là:

S = S(O) - S(AOB) = πR^2 - πR^2 * sin(∠OCV) = πR^2 * (1 - sin(∠OCV)).

c) Ta có ∠OIC = ∠OCV (do OC là tiếp tuyến của (O)), nên ∠OIC = ∠OCV.

Vì ∠OIC là góc nội tiếp của cung nhỏ AB, nên ∠OIC = ∠ABC.

Vậy ta có ∠OIC = ∠ABC.

Do đó, I là tâm đường tròn nội tiếp AABC.

Để tính bán kính của đường tròn (I), ta sử dụng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:

R(I) = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)) / S(ABC),

trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC và S(ABC) là diện tích tam giác ABC.

Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = AC = BC = πR.

Vậy p = (AB + AC + BC) / 2 = (πR + πR + πR) / 2 = 3πR / 2.

S(ABC) = √(3) / 4 * (AB)^2 = √(3) / 4 * (πR)^2 = 3πR^2 / 4.

Vậy bán kính của đường tròn (I) là:

R(I) = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)) / S(ABC) = √((3πR/2) * (3πR/2 - πR) * (3πR/2 - πR) * (3πR/2 - πR)) / (3πR^2 / 4) = √(9πR^4 / 16) / (3πR^2 / 4) = √(9R^2 / 16) / (3 / 4) = 3R / 4.

Vậy bán kính của đường tròn (I) là 3R / 4.

d) Để tính diện tích phần hình tròn (O') ở ngoài hình tròn (O), ta cần tính diện tích hình tròn (O') trừ đi diện tích hình tròn (O).

Diện tích hình tròn (O') là S(O') = πR^2.

Vậy diện tích phần hình tròn (O') ở ngoài hình tròn (O) là:

S = S(O') - S(O) = πR^2 - πR^2 = 0.