Cho tam giác ABC nhọn có AD và BE lần lượt là đường trung tuyến, cắt nhau ở G

a) Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AD chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Tương tự, BE cũng chia AC thành hai đoạn bằng nhau.

G là điểm giao của AD và BE, nên G chia cả hai đoạn BC và AC thành hai phần bằng nhau.

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

b) Ta có FE = EG (theo giả thiết).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2GD và BG = 2GE.

Do đó, AG + BG = 2GD + 2GE = 2(GD + GE) = 2GE = BG.

Vậy BG = GF.

c) Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AD chia BC thành hai đoạn bằng nhau.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2GD.

Do đó, AG + GD = 2GD + GD = 3GD = BC.

Vậy GD = BC/3.

Tương tự, BE cũng chia AC thành hai đoạn bằng nhau.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên BG = 2GE.

Do đó, BG + GE = 2GE + GE = 3GE = AC.

Vậy GE = AC/3.

Vì FE = EG (theo giả thiết), nên FE = AC/3.

Vậy FC = AC - FE = AC - AC/3 = 2AC/3.

Tương tự, GD = BC/3.

Vậy FC = GD.