Cho tam giác ABC vuông tại B, góc A > 60 độ. M là trung điểm của AC. Đường thẳng vuông góc hạ từ A xuống BM tại H và cắt BC tại I, kẻ đường tròn tâm I tiếp xúc với AC tại K, đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn tâm I tại E(khác K) cắt BM tại N ..

Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường tròn.

1. Chứng minh A, B, E, I, K cùng thuộc một đường tròn:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Ta có: ∠A = 90° (do tam giác ABC vuông tại B) và ∠EAI = 90° (do đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn tâm I).
- Vậy, ta có ∠A + ∠EAI = 180°, suy ra A, B, E, I, K cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh BC.IB = 2BM.HM:
- Gọi M' là giao điểm của đường thẳng BM với đường tròn tâm I.
- Ta có: ∠BIM' = 90° (do đường thẳng vuông góc hạ từ A xuống BM tại H).
- Vì tam giác ABC vuông tại B, nên BM là đường cao của tam giác ABC.
- Vậy, ta có BM' = BM.
- Từ đó, ta có: BC.IB = BC.IM' = 2BM'.HM' = 2BM.HM.

3. Tứ giác EKMN là hình thang:
- Ta có: ∠EAI = 90° (do đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn tâm I).
- Vì tam giác ABC vuông tại B, nên BM là đường cao của tam giác ABC.
- Vậy, ta có ∠BME = 90°.
- Từ đó, ta có: ∠EAI + ∠BME = 180°, suy ra E, A, M, I cùng thuộc một đường thẳng.
- Vậy, ta có EK || BC.
- Do đó, tứ giác EKMN là hình thang.

4. Chứng minh tam giác NEB cân:
- Ta có: ∠NEB = ∠NEM + ∠BEM = ∠IAM + ∠BEM = ∠EAI + ∠BEM = 90°.
- Vì tam giác NEB có một góc bằng 90°, nên tam giác NEB là tam giác cân (do NE = NB).

Vậy, các điều kiện đã được chứng minh.