Cho 3 điểm A,B,C trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Một đường thẳng vuông góc với AC tại A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính; BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt d tại D, tia AM giao với đường tròn tâm O tại điểm thứ 2 là N, tia DB giao ..

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học.

a, Tứ giác AMBD nội tiếp:

Ta có:  ∠AMB = ∠ANB (cùng nằm trên cung NP của đường tròn tâm O) và ∠ADB = ∠ANB (cùng nằm trên cung NP của đường tròn tâm O).

Do đó, ta có: ∠AMB = ∠ADB, suy ra tứ giác AMBD nội tiếp.

b, CM AD//NP:

Ta có: ∠CDA = ∠CBA (cùng nằm trên cung CB của đường tròn tâm O) và ∠DAB = ∠NAB (cùng nằm trên cung NB của đường tròn tâm O).

Do đó, ta có: ∠CDA = ∠DAB, suy ra CM AD//NP.

c, GI=1/3OM:

Để chứng minh GI=1/3OM, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm.

Giả sử G là trọng tâm của tam giác AMC.

Ta có: AG = 2GM (tính chất của trọng tâm)

Vì GI//OM, nên ta có: AGI ~ OGM (theo định lí đường thẳng song song)

Do đó, ta có: AG/GI = OG/GM

Thay AG = 2GM và OG = OM/2, ta có: 2GM/GI = OM/2GM

Suy ra: GI = 1/3OM

2. G chạy trên 1 đường tròn cố định khi M thay đổi trên đường tròn đường kính BC:

Để chứng minh G chạy trên 1 đường tròn cố định khi M thay đổi trên đường tròn đường kính BC, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm.

Giả sử G' là trọng tâm của tam giác AM'C (với M' là một điểm bất kì trên đường tròn đường kính BC).

Ta có: AG' = 2G'M' (tính chất của trọng tâm)

Vì GI//OM, nên ta có: AG'I ~ OGM' (theo định lí đường thẳng song song)

Do đó, ta có: AG'/GI = OG'/G'M'

Thay AG' = 2G'M' và OG' = OM'/2, ta có: 2G'M'/GI = OM'/2G'M'

Suy ra: GI = 1/3OM'

Vậy, G chạy trên 1 đường tròn cố định khi M thay đổi trên đường tròn đường kính BC.