Cho đường tròn tâm O, vẽ cát tuyến CAB. Từ điểm E nằm chính giữa cũng AB kẻ đường kính EF cắt AB tại D, CE cắt đường tròn tại I, dây AB cắt FI tại K

Để chứng minh IC là phân giác ngoài tại đỉnh I của tam giác AIB, ta cần chứng minh rằng góc ICF bằng góc IAF.

Ta có:
- Góc ICF là góc giữa đường thẳng CI và đường thẳng CF.
- Góc IAF là góc giữa đường thẳng AI và đường thẳng AF.

Ta cần chứng minh rằng góc ICF bằng góc IAF.

Ta có:
- Góc ICF = góc ICB + góc BCF (1)
- Góc IAF = góc IAB + góc BAF (2)

Ta cần chứng minh rằng góc ICB + góc BCF = góc IAB + góc BAF.

Ta có:
- Góc ICB = góc ICA (vì IC là phân giác ngoài tại đỉnh I của tam giác ABC)
- Góc BCF = góc BCA (vì CF là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm C)
- Góc IAB = góc IEB (vì IE là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I)
- Góc BAF = góc EAF (vì EF là đường kính của đường tròn)

Vậy ta cần chứng minh rằng góc ICA + góc BCA = góc IEB + góc EAF.

Ta có:
- Góc ICA + góc BCA = góc ICB + góc BCA = góc ICB + góc BCF (vì góc BCF = góc BCA)
- Góc IEB + góc EAF = góc IEB + góc EFB = góc IEB + góc ICB (vì góc ICB = góc EFB)

Vậy ta có:
- Góc ICA + góc BCA = góc IEB + góc EAF

Do đó, góc ICF = góc IAF.

Vậy ta kết luận rằng IC là phân giác ngoài tại đỉnh I của tam giác AIB.