Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác.

a. Ta có AB = AC (đề bài) và AM là phân giác của tam giác ABC, nên góc BAM = góc CAM (định lý phân giác). Từ đó, ta có thể kết luận rằng tam giác ABM = tam giác ACM (định lý góc).

b. Ta cần chứng minh rằng M là trung điểm của BC. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý phân giác và định lý hai đường thẳng chéo.

Gọi I là giao điểm của phân giác AM và đường thẳng BC. Ta cần chứng minh rằng I là trung điểm của BC.

Theo định lý phân giác, ta có góc BAM = góc CAM. Mà góc BAM = góc BAI (do AI là phân giác của tam giác ABC), và góc CAM = góc CAI (do AI là phân giác của tam giác ABC). Vậy góc BAI = góc CAI.

Do đó, tam giác BAI = tam giác CAI (định lý góc). Từ đó, ta có AI = AI (định lý cạnh chung).

Vậy, ta có tam giác ABI = tam giác ACI (định lý hai đường thẳng chéo). Từ đó, ta có AB = AC và AI = AI, nên ta có thể kết luận rằng tam giác ABI = tam giác ACI (định lý hai tam giác đồng dạng).

Do đó, ta có BM = CM (định lý hai tam giác đồng dạng). Vậy M là trung điểm của BC (định nghĩa trung điểm).

c. Để chứng minh AM vuông góc với BC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên BC. Ta cần chứng minh rằng AH = AM.

Do M là trung điểm của BC (phần b), ta có BM = CM. Mà AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng là đường cao của tam giác ABM và tam giác ACM.

Do đó, ta có tam giác ABM = tam giác ACM (định lý tam giác đồng dạng). Từ đó, ta có AB/AM = AC/AH (định lý tỷ lệ bên trong tam giác đồng dạng).

Vì AB = AC (đề bài), nên ta có AB/AM = AC/AH = 1. Từ đó, ta có AM = AH.

Vậy, ta có AM = AH, nên ta có thể kết luận rằng AM vuông góc với BC (định nghĩa đường cao).

Tóm lại, ta đã chứng minh được a, b, c.