Cho đường tròn (O) đường kính AB

a) Ta có AC là đường tiếp tuyến của đường tròn (o) tại điểm A, nên góc AOC = 90 độ. Vì góc OCK = 90 độ (do OK vuông góc với BC), nên A, O, K, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có góc AOC = 90 độ và góc OCK = 90 độ, nên góc AOK = 180 độ - góc AOC - góc OCK = 180 độ - 90 độ - 90 độ = 0 độ. Do đó, A, I, K, O cùng thuộc một đường tròn.

Vì A, I, K, O cùng thuộc một đường tròn, nên ta có góc AIK = góc AOK = 0 độ. Khi đó, AI song song với OK. Do đó, ta có AI đồng vuông với BC.

Vì AI đồng vuông với BC, nên ta có IA^2 = IB.IC.

Vì AI đồng vuông với BC, nên góc MCI = góc AIC = 90 độ. Do đó, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Tia MC cắt tiếp tuyến by của đường tròn (O) tại điểm E. Khi đó, ta có góc MEC = góc MCB = 90 độ (do MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Vì góc MEC = góc MCB = 90 độ, nên MECB là tứ giác nội tiếp. Khi đó, ta có góc MCE = góc MBE (cùng chắn cung MC trên đường tròn (O)).

Vì góc MCE = góc MBE, nên ta có góc MCE = góc MBE = 90 độ. Do đó, CH vuông góc với AB.

Vì CH vuông góc với AB và CH đi qua điểm H trên AB, nên CH là đường vuông góc chung của AB và (O).

Vì CH là đường vuông góc chung của AB và (O), nên CH song song với MB (do MB là tiếp tuyến của (O)).

Vì CH song song với MB và CH đi qua điểm C, nên CH và MB là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm C.

Vì MC là tiếp tuyến của (O) và MC đi qua điểm C, nên MC và (O) cắt nhau tại điểm C.

Vì AE là tiếp tuyến của (O) và AE đi qua điểm E, nên AE và (O) cắt nhau tại điểm E.

Vậy, ta đã chứng minh được CH, MB, AE.