a) Ta có:
- Góc AHB là góc nhọn nên góc AMB cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp AMHC của đường tròn (O).
- Góc ADB là góc nhọn nên góc AMD cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp ADHC của đường tròn (O).
- Ta có góc AMB = góc AMD (cùng nằm trên cùng một cung AMHC), góc BMA = góc DMA (cùng nằm trên cùng một cung AMHC).
Do đó, tam giác AMB đồng dạng với tam giác AMD.
Vậy, ta có AM vuông góc MD.

b) Ta có:
- Góc AHB là góc nhọn nên góc AAB cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp AMHC của đường tròn (O).
- Góc ADB là góc nhọn nên góc AAD cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp ADHC của đường tròn (O).
- Ta có góc AAB = góc AAD (cùng nằm trên cùng một cung AMHC), góc ABH = góc ADH (cùng nằm trên cùng một cung AMHC).
Do đó, tam giác AABH đồng dạng với tam giác AADC.
Vậy, ta có BM = DC.

c) Ta có:
- Góc AHB là góc nhọn nên góc BMA cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp AMHC của đường tròn (O).
- Góc ADB là góc nhọn nên góc DMA cùng nằm trên cùng một cung ngoại tiếp ADHC của đường tròn (O).
- Ta có góc BMA = góc DMA (cùng nằm trên cùng một cung AMHC), góc ABH = góc ADH (cùng nằm trên cùng một cung AMHC).
Do đó, tam giác BMH đồng dạng với tam giác DMH.
Vậy, ta có BM/DM = BH/DH.
Tương tự, ta có tam giác CMD đồng dạng với tam giác BMH.
Vậy, ta có CM/DM = CH/DH.
Từ đó, ta có BM/DM = CM/DM.
Vậy, ta có BM = CM.
Do đó, tứ giác BMDC là hình thang cân.