a) Ta có BM = BC, suy ra tam giác BMC là tam giác cân tại M. Do đó, tia phân giác của góc BMC cắt MC tại K là đường trung trực của đoạn thẳng BM.

Gọi O là giao điểm của tia phân giác của góc ABC và tia phân giác của góc BMC. Ta có:

∠BOM = ∠BOC + ∠COM = ∠BAC + ∠MCA = 90° + ∠MCA = 90° + ∠KCA = 180° - ∠KCB = ∠BCH

Vậy ta có ∠BOM = ∠BCH. Như vậy, ta có tứ giác BOMH là tứ giác nội tiếp trong đó BM là đường chéo. Do đó, BI là đường trung trực của AH.

Tiếp theo, ta chứng minh AH // MC. Ta có:

∠BAC = ∠BMC (góc ở đỉnh)
∠BAC = ∠BOM (cùng nằm trên cùng một cung BO)
∠BOM = ∠BCH (chứng minh trên)

Vậy ta có ∠BAC = ∠BCH. Như vậy, ta có tứ giác AHBC là tứ giác nội tiếp trong đó ∠BAC = ∠BCH. Do đó, ta có AH // MC.

b) Ta có AH // MC (chứng minh ở câu a). Do đó, ta có:

∠AKH = ∠MCH (cùng nằm trên cùng một đường)
∠AKH = ∠MCA (cùng nằm trên cùng một cung MA)
∠AKH = ∠KCA (cùng nằm trên cùng một đường)

Vậy ta có tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp trong đó ∠AKH = ∠KCA. Do đó, ta có AK + KH = AC.

Từ đó, ta có AK + KH = AC = CM.

c) Giả sử góc KAH = 60°. Ta có:

∠KCA = ∠KCH + ∠HCA = ∠KHA + ∠HCA = 60° + 90° = 150°

Vậy ta có ∠KCA = 150°. Do đó, ta có tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp trong đó ∠AKH = ∠KCA = 150°.

Từ đó, ta có AK + KH = AC = CM.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ABC = 90°. Vì góc KAH = 60°, nên tổng góc ABC = 90° + 60° = 150°.