Xét các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a/b

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ chứng minh từng phần riêng biệt.

1. Chứng minh a/b < a+c/b+d:
Ta có a/b < a/b + c/d (vì c/d > 0)
=> a/b < (ad + bc)/(bd) (nhân cả hai vế với bd)
=> abd < abd + bcd (nhân cả hai vế với bd)
=> abd < abd + bcd + acd - acd
=> abd < (a+c)(b+d) - acd
=> abd < (a+c)(b+d)/(bd) (chia cả hai vế cho bd)
=> a/b < (a+c)/(b+d) (chia cả hai vế cho ab)

2. Chứng minh a+c/b+d < c+d:
Ta có a+c/b+d < c/b + c/d (vì a/b < c/d)
=> a+c/b+d < (cd + cb)/(bd) (nhân cả hai vế với bd)
=> abd + cbd < abd + bcd (nhân cả hai vế với bd)
=> cbd < bcd (trừ abd + bcd khỏi cả hai vế)
=> cbd < bcd - abd - bcd
=> cbd < (c+d)(b+d) - abd
=> cbd < (c+d)(b+d)/(bd) (chia cả hai vế cho bd)
=> (a+c)/(b+d) < (c+d)/d (chia cả hai vế cho cbd)
=> (a+c)/(b+d) < c/d + 1
=> (a+c)/(b+d) < c/d + d/d
=> (a+c)/(b+d) < (c+d)/d
=> a+c/b+d < c+d

Từ đó, ta có a/b < a+c/b+d < c+d.