Để phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm, ta cần xác định điều kiện để phương trình trên có nghiệm duy nhất hoặc có nghiệm tồn tại.

Phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có thể viết lại dưới dạng:
sinx + (m/(m-1))cosx = (m+1)/(m-1)

Đặt t = tan(x/2), ta có:
sinx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)

Thay sinx và cosx vào phương trình ban đầu, ta được:
2t/(1+t^2) + (m/(m-1))(1-t^2)/(1+t^2) = (m+1)/(m-1)

Simplifying the equation, we have:
2t + (m/(m-1))(1-t^2) = (m+1)/(m-1)(1+t^2)

Mở ngoặc và đơn giản hóa phương trình, ta có:
(2t(m-1) + (m/(m-1))(1-t^2)(1+t^2)) = (m+1)

(2t(m-1) + (m/(m-1))(1-t^4)) = (m+1)

2tm - 2t + m - t^4 = m + 1

2tm - 2t + m - t^4 - m - 1 = 0

2tm - 2t - t^4 - 1 = 0

Đây là một phương trình bậc 4 với biến t. Để phương trình này có nghiệm, ta cần xác định điều kiện để phương trình bậc 4 này có ít nhất một nghiệm.

Điều kiện để phương trình bậc 4 có ít nhất một nghiệm là delta (Δ) của phương trình bậc 4 lớn hơn hoặc bằng 0.

Δ = (2m)^2 - 4(-2)(-t^4 - 1)

Δ = 4m^2 - 8(t^4 + 1)

Để Δ ≥ 0, ta có:
4m^2 - 8(t^4 + 1) ≥ 0

m^2 - 2(t^4 + 1) ≥ 0

Đây là một bất phương trình bậc 2 với biến m. Để bất phương trình này đúng, ta cần xác định điều kiện để bất phương trình bậc 2 này có ít nhất một nghiệm.

Điều kiện để bất phương trình bậc 2 có ít nhất một nghiệm là delta (Δ) của bất phương trình bậc 2 lớn hơn hoặc bằng 0.

Δ = 4(t^4 + 1) ≥ 0

t^4 + 1 ≥ 0

Điều kiện để t^4 + 1 ≥ 0 là tùy ý, vì t^4 + 1 luôn không âm.

Vậy, để phương trình (m-1)sinx + mcosx = m+1 có nghiệm, m có thể là bất kỳ giá trị thực.