Để chứng minh rằng n^2^(6n+2) + 3 chia hết cho 19, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ và đồng dư.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng 2^18 ≡ 1 (mod 19) bằng định lý Fermat nhỏ. Vì 19 là số nguyên tố, nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có: 2^18 ≡ 1 (mod 19).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng n^2^(6n+2) ≡ -3 (mod 19).

Ta có: n^2^(6n+2) ≡ n^2^(6n) * 2^2 (mod 19).

Vì 2^18 ≡ 1 (mod 19), nên ta có: n^2^(6n+2) ≡ n^2^(6n) * 2^2 ≡ n^2^(6n) (mod 19).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng n^2^(6n) ≡ -3 (mod 19).

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

Đối với n = 1, ta có: 1^2^(6*1) ≡ 1^2^6 ≡ 1^64 ≡ 1 (mod 19).

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là k^2^(6k) ≡ -3 (mod 19).

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là (k+1)^2^(6(k+1)) ≡ -3 (mod 19).

Ta có: (k+1)^2^(6(k+1)) ≡ (k+1)^2^(6k+6) ≡ (k+1)^(2^6k * 2^6) ≡ (k+1)^(2^6k) * (k+1)^64 (mod 19).

Vì k^2^(6k) ≡ -3 (mod 19), nên ta có: (k+1)^(2^6k) ≡ (k+1)(-3) (mod 19).

Vì 2^18 ≡ 1 (mod 19), nên ta có: (k+1)^64 ≡ (k+1)^18 * (k+1)^18 * (k+1)^18 * (k+1)^10 ≡ 1 * 1 * 1 * (k+1)^10 ≡ (k+1)^10 (mod 19).

Vậy ta có: (k+1)^2^(6(k+1)) ≡ (k+1)(-3) * (k+1)^10 ≡ (-3)(k+1)^10 (mod 19).

Ta sẽ chứng minh rằng (-3)(k+1)^10 ≡ -3 (mod 19).

Ta có: (-3)(k+1)^10 ≡ (-3)(k^10 + 10k^9 + 45k^8 + 120k^7 + 210k^6 + 252k^5 + 210k^4 + 120k^3 + 45k^2 + 10k + 1) (mod 19).

Vì k^2^(6k) ≡ -3 (mod 19), nên ta có: (-3)(k+1)^10 ≡ (-3)(-3 + 10k^9 + 45k^8 + 120k^7 + 210k^6 + 252k^5 + 210k^4 + 120k^3 + 45k^2 + 10k + 1) (mod 19).

Ta sẽ chứng minh rằng 10k^9 + 45k^8 + 120k^7 + 210k^6 + 252k^5 + 210k^4 + 120k^3 + 45k^2 + 10k + 1 ≡ 1 (mod 19).

Ta có: 10k^9 + 45k^8 + 120k^7 + 210k^6 + 252k^5 + 210k^4 + 120k^3 + 45k^2 + 10k + 1 ≡ k^9 + 7k^8 + 5k^7 + 12k^6 + 14k^5 + 12k^4 + 5k^3 + 7k^2 + k + 1 (mod 19).

Vì k^2^(6k) ≡ -3 (mod 19), nên ta có: k^9 + 7k^8 + 5k^7 + 12k^6 + 14k^5 + 12k^4 + 5k^3 + 7k^2 + k + 1 ≡ -3 + 7(-3) + 5(-3) + 12(-3) + 14(-3) + 12(-3) + 5(-3) + 7(-3) - 3 + 1 ≡ -3 (mod 19).

Vậy ta có: (-3)(k+1)^10 ≡ -3 (mod 19).

Từ đó suy ra: (k+1)^2^(6(k+1)) ≡ -3 (mod 19).

Vậy ta đã chứng minh được rằng n^2^(6n+2) ≡ -3 (mod 19).

Cuối cùng, ta sẽ chứng minh rằng n^2^(6n+2) + 3 chia hết cho 19.

Ta có: n^2^(6n+2) + 3 ≡ -3 + 3 ≡ 0 (mod 19).

Vậy ta đã chứng minh được rằng n^2^(6n+2) + 3 chia hết cho 19.