Để so sánh diện tích của hai tam giác BOM và CON, ta cần tìm mối quan hệ giữa các đường cao của hai tam giác này.

Gọi H1 là hình chiếu vuông góc của O lên BM, H2 là hình chiếu vuông góc của O lên CN.

Ta có:
- Trong tam giác BOM, đường BN là đường cao nên diện tích tam giác BOM là S1 = 1/2 * BO * H1.
- Trong tam giác CON, đường CM là đường cao nên diện tích tam giác CON là S2 = 1/2 * CO * H2.

Để so sánh diện tích của hai tam giác này, ta cần so sánh BO và CO, cũng như H1 và H2.

Vì AM = 2BM và AN = 2CN, nên ta có:
- AM/AB = 2BM/AB => AM/AB = BM/(AB - BM) => AM/AB = BM/MB => AM = BM.
- AN/AC = 2CN/AC => AN/AC = CN/(AC - CN) => AN/AC = CN/NC => AN = CN.

Từ đó, ta có:
- Tam giác ABM và tam giác ACN là hai tam giác đồng dạng (cạnh chung AB và AC, góc AMB và ANC bằng nhau).
- Vì AM = BM và AN = CN, nên tam giác ABM và tam giác ACN là hai tam giác đồng dạng cân.
- Vì tam giác ABM và tam giác ACN đồng dạng, nên BO/CO = BM/CN = 1/2.
- Vì BO/CO = 1/2, nên BO = 2CO.

Từ đó, ta có:
- H1 = BM - BH1 = BM - BO = BM - 2CO = BM - CO.
- H2 = CN - CH2 = CN - CO.

Vậy, ta có:
- H1 = BM - CO.
- H2 = CN - CO.

Vì BM > CO và CN > CO, nên H1 > H2.

Từ đó, ta có:
- S1 = 1/2 * BO * H1 > 1/2 * CO * H2 = S2.

Vậy, diện tích tam giác BOM lớn hơn diện tích tam giác CON.