Cho (O) và dây cung AB không đi qua O. Trên dây AB lấy ba điểm C; D; E sao cho AC=CD=DE=EB.Các tia OC; OD; OE cắt đường tròn lần lượt tại M; N; P

Để chứng minh AM < MN, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Gọi góc AOC = α và góc BOC = β.

Vì AC = CD = DE = EB, nên ta có góc CAD = góc CDE = góc DEB = x.

Do đó, góc ACD = góc CDE = góc DEB = x.

Vì góc nội tiếp đối với cùng một cung bằng nhau, nên ta có góc AOC = góc CDE = α.

Tương tự, ta có góc BOC = góc CDE = β.

Vì góc ngoại tiếp đối với cùng một cung bằng nhau, nên ta có góc AOB = góc CDE = α + β.

Ta có AM = 2R.sin(α) (với R là bán kính đường tròn (O)).

MN = 2R.sin(α + β).

Để chứng minh AM < MN, ta cần chứng minh sin(α) < sin(α + β).

Ta biết rằng sin(α + β) = sin(α).cos(β) + cos(α).sin(β).

Do đó, ta cần chứng minh sin(α) < sin(α).cos(β) + cos(α).sin(β).

Đặt x = sin(α) và y = sin(β).

Ta cần chứng minh x < x.y + y.x.

Điều này tương đương với x < 2xy.

Điều này đúng vì x và y là các số trong khoảng từ 0 đến 1.

Vậy ta đã chứng minh được AM < MN.