Để tìm số nguyên dương n thoả mãn 2n+3 và 8n+25 đều là số chính phương, ta giải hệ phương trình sau:

2n + 3 = a^2 (1)
8n + 25 = b^2 (2)

Trong đó, a và b là các số nguyên dương.

Từ phương trình (1), ta có:
2n = a^2 - 3
n = (a^2 - 3)/2

Thay n vào phương trình (2), ta có:
8((a^2 - 3)/2) + 25 = b^2
4a^2 - 12 + 25 = b^2
4a^2 + 13 = b^2

Để b^2 là số chính phương, ta có các trường hợp sau:
- b = 1: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 2: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 3: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 4: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 5: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 6: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 7: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 8: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 9: a = 2.
- b = 10: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 11: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 12: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 13: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 14: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 15: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 16: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 17: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 18: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 19: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- b = 20: không có số nguyên dương a thoả mãn phương trình.
- ...

Từ kết quả trên, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất là b = 9 và a = 2.

Vậy số nguyên dương n thoả mãn 2n+3 và 8n+25 đều là số chính phương là n = (2^2 - 3)/2 = 1.